“心”传奇 | 《数字追凶》中的数学魔法：贝叶斯定律破解越狱谜踪
贝叶斯概率是指在已知一些先验信息的情况下，通过新的观测数据来更新对某个事件发生概率的估计。这种概率反映了我们在获得新证据后的信念变化。——托马斯·贝叶斯Thomas Bayes
The probability of any event is the ratio between the value at which an expectation depending on the happening of the event ought to be computed, and the value of the thing expected upon its happening.
在一个风和日丽的周末，洛杉矶警局突然接到一通紧急电话：两名罪犯在杀害守卫后越狱了！
其中一名罪犯乙很快被抓获，但另一名罪犯甲却不知所踪。警方立即展开了大规模搜捕，然而随着媒体的公开报道，成百上千的目击电话涌入警局，遍布于城市的各个角落。
那么在如此海量的信息当中，究竟哪些报告才是真实有用的？警方又该如何迅速锁定罪犯甲的下落呢？
（剧照《数字追凶》）
上述案情是在美剧《数字追凶》第一季第13集中的一个片段，观众得以看到警方是如何在信息量爆炸的情况下，应对充满不确定性的案件。
他们借助于先进的信息技术和一种强大的数学工具——贝叶斯定理，将信息代入到数学模型中进行计算，系统地分析证据以及更新概率，从而迅速筛选出关键线索，提高了破案效率。
面对海量且可能相互矛盾的目击报告，运用贝叶斯定律来评估每一份报告的可信度。贝叶斯定律帮助侦查人员根据新的证据更新对某一假设的信念，从而筛选出最有可能的目击报告。
先验概率的设定
首先，我们对以下事件和概率进行定义：
·H：表示目击报告为真的假设。
·E：表示目击报告的事件。
·P(H)：目击报告为真的先验概率。
·P(E∣H)：在目击报告为真的情况下，接到该报告的似然度。
·P(E∣¬H)：在目击报告为假的情况下，接到该报告的似然度。
·P(E)：接到目击报告的总概率。
似然度的计算
警方根据以往的经验和统计数据，设定了目击报告为真的先验概率P(H)。考虑到目击报告的不准确性和公众对案件的高度关注，这个概率可能相对较低。例如，假设P(H)=0.05。
根据罪犯甲可能的行动模式和目击报告的地理位置、时间等因素，计算在目击报告为真的情况下接到该报告的似然度P(E∣H) 和在目击报告为假的情况下接到该报告的似然度P(E∣¬H)。
·P(E∣H)：假设目击报告为真，目击者报告的准确率为0.9。
·P(E∣¬H)：假设目击报告为假，目击者误报的概率为0.1。
后验概率的计算
结合贝叶斯定理，警方计算了每一份目击报告为真的后验概率 P(H∣E)：
P(H∣E)=P(E∣H)P(H)/P(E)
其中
P(E) 是接到目击报告的总概率，可以通过全概率公式计算得出：
P(E)=P(E∣H)P(H)+P(E∣¬H)P(¬H)
假设
P(¬H)=1−P(H)=0.95，则：
P(E)=(0.9×0.05)+(0.1×0.95)=0.045+0.095=0.14
因此，后验概率 P(H∣E) 为：
P(H∣E)=0.9×0.05/0.14≈0.321
通过贝叶斯定律的应用，警方发现某些目击报告的后验概率远高于其他报告。这些高概率报告揭示了罪犯甲可能的行动路径和藏身之处。例如，如果一个目击报告来自于罪犯甲可能前往的区域，并且时间上与越狱事件相吻合，那么这份报告的后验概率就会较高。
基于贝叶斯定律的分析结果，警方将调查重点放在了那些后验概率最高的目击报告上。这一策略最终帮助警方缩小了搜查范围，成功追踪到了罪犯甲的下落，并最终将罪犯甲绳之以法。
当然，贝叶斯定律的应用远不止于此。
在当代，它在众多行业中同样展现出了巨大的价值，例如在医学诊断中，贝叶斯方法使医生能够整合患者的过往病史与最新的检测数据，从而实现更精确的疾病诊断；在金融领域，尤其是风险管理方面，贝叶斯方法能够评估客户的信用风险，辅助金融机构做出明智的贷款决策；在自然语言处理领域，贝叶斯方法在文本分类和情感分析等方面发挥着重要作用，它被广泛应用于搜索引擎优化和社交媒体内容分析中；在机器学习领域，贝叶斯方法为分类、回归、聚类等任务提供了基于概率的预测模型，适用于广泛的应用场景。
贝叶斯定律凭借其坚实的数学基础和广泛的适用性，正持续为现代社会的多元化需求提供着强有力的支持和解决方案。
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